Une somme de puissances d'entiers

On considère trois entiers consécutifs. On note  \(n\)  celui du milieu (qui n'est donc ni le plus grand, ni le plus petit). 
L'objectif de l'exercice est de déterminer pour quelle(s) valeur(s) de \(n\) la somme des puissances quatrièmes de ces trois nombres est égale à \(353\) .

Partie 1 - Tâtonnement 
1. Calculer la somme suivante \(1^4+2^4+3^4\) et établir si, oui ou non, \(n=2\) est solution du problème posé.
2. Justifier que \(n=3\) est solution du problème posé.

Partie 2 - Ensemble des solutions
1. Démontrer que répondre au problème équivaut à résoudre l'équation \(3n^4+12n^2+2=353\) .
2. Résoudre l'équation précédente ; on pourra s'aider du changement de variable \(t=n^2\) .
3. Conclure.